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网名“河东老师”或“天堂寨主”,一个站了三十多年讲台的中学数学高级教师,永远的宗旨是:甘为人梯志不渝。一个带了二十八年中学班主任的老师,一贯的做法是:爱心谱写师德魂。2005年评为首届“罗田县十大师德标兵”、“黄冈市师德标兵”、黄冈市骨干教师。

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极端性原理在初中数学解题中的妙用  

2017-07-01 13:44:02|  分类: 教学及研究 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在中学数学奥赛中,经常要用到一个极妙的数学思想来解题,就是极端性原理。所谓“极端性原理”指的是直接抓住全体对象中的极端情况或她们所只有的某种极端性质加以研究,来解决问题的数学思想方法。(引自国家数学普及委员会主任、国家奥林匹克教练员评审委员会主任、全国奥林匹克数学竞赛特级教练、天津数学会数学普及工作委员会负责人、特级教师刘玉翘教授讲义)

但是,不要被数学奥赛所吓倒,不要见难题就怕,不要以为极端性原理很难,其实,极端性原理思想方法运用到初中数学解题中,极为简单,也是精彩连连,妙处展展。

极端性原理其思想运用主要体现在:

 1、动点问题定点化

一般认为,动点问题是运动的、变化的、捉拿不定的,即便如此,,动点也是按一定轨迹运动着,而轨迹是由一个个点组成,我们只需直接抓住全体对象中的极端情况,即运动在某一时刻即为静止的定点,按照此时此刻定点来处理即可解决问题。

例1:如图,△ABC中,∠C=900,M是AB的中点,动点P从A点出发,沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从C点出发,沿CB方向匀速运动到终点B,已知P、Q两点同时出发,同时到达终点,连接MP、MQ、PQ,在整个运动过程中,△MPQ的面积大小变化情况是(   ) 

A、一直增大,  B、一直减小,  C、先减小后增大,  D、先增大后减小。

分析:动点问题找极端定点解决。极端定点一,动点刚启动零时刻,即P在A点、Q在C点时,而M为AB的中点,此时△MPQ的面积是△ABC的一半;极端定点二,因为P、Q两点同时出发,匀速运动,同时到达终点,那么他们也同时到达各自的中点,此时中点△MPQ的面积是△ABC的四分之一;极端定点三, P、Q同时到达终点C、B,此时△MPQ面积为△ABC的一半;因此答案选C。

2、定点问题特殊化

动点问题难解,可以用极端定点解决,那么定点难的问题怎样解决呢?极端性原理思想是:只需直接抓住全体对象中的极端情况----某一特殊情况来处理,即特殊化可解决问题。

例2:如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分,当菱形的两条对角线长分别为6和8时,阴影部分的面积为                                    。

分析:此题似乎是一定点问题,但由于过O点的三条直线位置的不确定,也是动态情况了,因此极端思想特殊化可解决。即,其中两条直线与两条对角线重合,另一条直线任意位置,所以,阴影部分面积为菱形面积的一半(12)。

3、特殊问题极端化

运用极端性原理动点问题定点化,定点问题特殊化,那么特殊问题还可以用极端性思想吗?答案是肯定的,特殊问题极端化,就是以特殊的问题,从特殊情况为切入点来解决问题。

例3、如果一个三角形所有边都小于1,则它的面积小于 .

分析:本题特殊在题目简单,结论不定。

解法一:设α为三角形中最小角,则α≤60°

∴S= bCsinα≤ Sin600≤ × =  (这里特殊值法b=c=1)

解法二:设每一边都为1,∴S= bCsinα= sin60°= × =

若有一边小于1,则S= bCsinα≤ sin60°= =

即S≤  (这里b≤1或c≤1即可,若a≤1,b=c=1,则a≤60°)

特殊值法是 极端性原理中的小的表现,但是解题中的常用方法,他其实是直接抓住全体对象中的极端情况 ,采取极端数值来达到解题目的。

善于直接抓住全体对象中的极端情况,运用极端思想解决数学问题,事半功倍,妙趣横生。

   

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